2014.06教学平台•“开放的习题 灵动的思维”专辑（一）

 
    所谓先“学会怎么做，再懂得为什么”的教学方法，虽然可以有效地提高学生的解题正确率与卷面成绩，却可能隐藏着“知其然而不知其所以然”的隐患。即学生只擅长在理想化条件中按照特定的模式得到答案，而不具备运用数学手段解决实际生活中问题的能力。上世纪80年代美国数学教育工作者们也发现学生虽有一定的计算技能和数学知识，但却严重缺乏运用数学知识去解决实际问题的能力。因此，以构建主义为原则，以“解决问题”为中心的数学课程应运而生，并实行了20余年，而此“解决问题”中所指的“问题”即开放性问题。
    1.“封闭”的数学教育与创造力和数感的丧失。
    学校教育或许成为让学生降低甚至丧失数感和数学创造力的一个重要因素。我在近些年曾经做过一项研究，让华东某省会城市一所小学四至六年级的各两个班的学生分别去解答一系列相同的开放性问题，再比较不同年级学生的解题方法与最终答案。此项研究的结果并不符合教师们常规的预期，即高年级学生应该具有更成熟、更多样化的解题方法，以及更准确的答案，恰恰相反，我们的研究发现中年级学生反而展现出了更具创造性和可行性的解题方法；同时，正是由于低年级学生的解题方法往往更基于生活常识背景，且更少地受纯数学公式和概念的限制，他们的最终答案的准确率也普遍高于他们的高年级学哥学姐们。
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    反观四年级学生的估算和测量方法，我们得到了很多惊喜。惊喜之一是学生们使用了相对适合的面积单位进行估算。在估算方面，“平方米”作为一个他们在日常生活中所熟知的面积单位被广泛地使用，这是由于学生对“平方米”这个计量单位有着较为准确的感性认识，在估算时，往往可以得到较为精确的答案；个别有着农村生活体验的学生甚至使用了一些教科书中不太涉及的面积单位“亩”作为他们估算的基准单位，使用这个单位的学生们也都相对准确地估算出了体育场的面积。惊喜之二是学生们使用了极具多样性的测量工具进行实地测量，大扫帚、树枝、跳绳、竹竿等超过13种日常生活用品被学生当成测量工具，这些他们在日常生活中所熟知的物品在手中变成了比“卷尺”更加灵活的非标准化测量工具，让他们得出了比高年级学生更为精准的答案。
    四年级学生带给我们的惊喜也正是我们的担忧所在：当这批学生升入高年级后，他们在面对开放性问题时所展现出的创造性，数感的灵活性是否会被反复的、封闭的数学训练所磨灭？他们在升入高年级后是否会陷入和他们前辈一样的误区？这些问题值得我们反思。
    2.简单的数学题也需要“开放化”。
    学生问：“1+1在什么情况下不等于2？”作为一名合格的教师该如何回答学生这样的提问？“在算错的情况下不等于2！”如果简单地用喜剧小品中的语言来应付学生的话，会造成学生对数理认识和数学结构产生很大的误区。其实，1+1在很多情况下是可以不等于2的。例如，在2进制中1+1=10（注：此处的10只代表数字1和0，与数字“十”有着完全不同的意义）。这个例子说明开放性的问题，并不一定需要具体的生活背景和严格的文字表述，即便简单的数字，经过条件的改变也是可以设计出开放性的问题的。
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    3.促进思维开放化，给学生更多的机会去理解数学。
    在日常生活中，人们往往根据不同情况和需要去选择合适的交通工具。每个人都知道“坐车”与“开车”，“骑车”和“走路”在不同的环境中，有着各自不同的利弊，仅仅使用一种交通工具是无法满足人们的日常需要的。然而，在数学教育中，有些教师恰恰犯了这样的常识性的“错误”，即只教授学生如何“在快车道上行驶”而忽略了学生在“慢车道上骑车”和“在人行道上走路”的训练。在许多情况下，为了追求运算速度和正确率，教师们往往指定学生去“记住答案”和“套用公式”直接得到答案。例如，有些教师在学生缺乏充分探究和理解的情况下，即要求学生强记基本运算结果（如7+8=15，8×9=72等）和套用基本运算公式（如必须使用竖式进行乘除法的计算等），此教学方法虽然可以迅速提高学生的运算速度，却让学生丧失了对“数学世界”的理解。
    数学，对于很多学生来说，是一个浩瀚的世界，但知道数学世界中每个“景点”之间有着千丝万缕的联系并不多。如果教师只提供给学生一种方法去探索数学世界，学生对这个世界的理解将必然是片面的。只有提供给学生不同的方法，尤其是让他们根据自己的喜好，选择适合自己的“交通工具”来探索才能相对全面地了解数学。例如，在进行乘法教学的时候，我们大可不必过早让学生强记“口诀”，在记下“口诀”前，我们可以让学生自己去寻找加法和乘法的联系以及不同数字之间乘法的关系，如4×9=2×9+（9+9）=6×6。在学生充分理解了乘法的本质和规律后再进行口诀记忆，会大大提高学生的应变能力。尤其是在高年级进行复杂数学学习时遇到传统数学方法行不通的情形，学生可以及时地改换思路，使用自己发明的方法从而顺利地得到正确的答案。简言之，让学生去运用教科书所提到的公理和公式之前，我们是要学生有充分的机会，来探索、使用他们自己的方法来总结一些数学规律的。
    4.机遇与挑战———基于构建主义，以开放性问题为核心的数学教学模式。
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（作者单位：美国得克萨斯大学）
 
安嵩，美国得克萨斯A&M大学数学教育哲学博士，现任美国得克萨斯大学教育学院助理教授，博士生导师，《数学教育学报（美国）》总编助理。主要研究方向为音乐数学结合教学的课程设计与实践。
 
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